博弈论：扩展式博弈中的完美均衡

1 扩展式博弈中的纳什均衡

        我们已经知道了怎样求解策略式博弈，并且我们也已经了解了怎样将扩展式博弈转化为策略式博弈。我们现在定义的博弈的解忽略了扩展式博弈的连续性，并且将策略作为参与者在所有的博弈开始之前的选择。

        定义1：一个给定的扩展式博弈Γ的纳什均衡也是从Γ中推导出的博弈G的纳什均衡。

        我们可以这么做是因为任一给定的扩展式博弈都有一个确定的策略式博弈。而从更普遍的意义来讲，一个扩展式博弈的纳什均衡是一个策略集（si,s-i）使得对任意的参与者i以及si∈Si,，都有ui（si,s-i）≥ui（si,s-i*）。因此，扩展式博弈的纳什均衡的定义与策略式博弈的纳什均衡相同（但是要注意在这里是怎样指定策略式博弈的）。

        因此，寻找扩展式博弈的纳什均衡解可以归结于寻找由之推导出的普通表示法表示的博弈的纳什均衡解。我们已经这样对Myerson’scard game求解，得出Fig.1的结论：

如果我们想用行为战略表达这一结论，我们需要定义信息集的概率分布。参与者1有两个信息集，b代表黑色的卡，c代表红色的卡。信息集b的概率分布为，信息 集c的概率分布为。换言之。如果参与者1看到了黑色的卡，那么他有2./3的概率选择fold，如果他看到了红色的卡，那么他总是会raise。参与者2 的行为策略已经在上式中定义（她只有一个信息集）。

     由于在一个完美信息博弈中混合策略均衡和行为策略均衡是相等的（Kuhn’s Theorem),我们可以推论，在完美信息博弈中必然存在行为策略的纳什均衡。这可以直接的从纳什定理所推出。因此，我们有了以下重要的结论：

     定理1：对于任意具有完美信息的扩展式博弈，存在一个行为策略的纳什均衡。

     一般的，求解一个扩展式博弈的第一步就是找出它的所有纳什均衡解。这一定理告诉我们至少有一个这样的均衡解存在。此外，如果我们找到了由其推出的正常表达 下的纳什均衡解，那么我们就找到了扩展式博弈下的所有均衡解。因此，通常的程序就是将扩展式博弈转化为策略式博弈，然后找到它的均衡解。
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