期权市场风险对冲原理证明
一、期权希腊字母风险对冲的含义
风险对冲的基本思想可以通过基于Taylor展示式的资产组合价值随市场因子变化的二阶形式来表现:
金融衍生品的价格_F_可以表示成形式:F = F(S, t,_r,_σ)
其中:_S_表示标的物资产的当前价格,_t_表示当前时间,_r_表示无风险利率,σ表示标的物资产价格的波动率。
金融衍生品定价公式的泰勒展开式:
期权的风险指标通常用希腊字母来表示,包括:delta值、gamma值、theta值、vega值、rho值等。
二、欧式看涨期权希腊字母风险对冲及证明
以欧式看涨期权为例,证明希腊字母风险对冲原理。其中,基于Black-Scholes公式,不付红利的欧式看涨期权为:
期权合约的Delta
对于股股息股票期权的Delta,我们可以证明
欧式看涨期权长头寸的Delta为:_△(看涨期权_)=N(d1)
欧式看涨期权短头寸的Delta为-N(d1)
其中,_d1_由B-S公式中定义,N(x)是标准正态分布的累积分布函数
对于一个期权长头寸做对冲时,需要持有_N(d1)_股股票的短头寸。
对于一个期权短头寸做对冲时,需要持有_N(d1)_股股票的长头寸。
期权合约的Gamma
对于一个无股息看涨及看跌期权,Gamma关系为:
看涨期权长头寸Gamma为正。
期权合约的Theta
由BS公式计算得出:
其中,标准正态分布的密度函数。
对于一个股票欧式看跌期权,计算Theta的公式为:
因为N(-d2)=1-N(-d2),所以看跌期权的Theta比看涨期权的Theta大。
期权合约的Vega
对于一个无股息看涨期权,Vega公式为:
欧式及美式期权的Vega总为正。
期权合约的Rho
对于一个无股息股票欧式看涨期权和看跌期权,其Rho分别为:
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