变脸六边形折纸

变脸折纸是纸制的多边形，用直的或弯的纸条折叠而成，特点是折曲时能变换面孔。要不是英国人和美国人用的笔记本纸张大小有所不同，变脸折纸也许仍未被发现，而大批一流的数学家也就无法享受分析这种玩意儿的结构给他们带来的乐趣。

这一切都始于1939年秋天。普林斯顿大学数学专业一位来自英国的23岁研究生斯通(Arthur H. Stone)，刚刚把从美式笔记本里取下来的纸裁掉一英寸，以便装在他自己的英式笔记本夹子里。

他把裁剪下的纸条折来折去弄着玩，突然发现折出来的形状里有一个特别好玩。他在三处把纸条斜对角折叠，并把两端接起来，做成了一个六边形(见图1)。当他把相邻三角形两两捏在一起，并把六边形的不相邻的顶角往中间集中，该六边形就会像盛放的花儿一样再次打开，并展现出一张新脸。假如把原来的六边形之顶面和底面涂成不同颜色，新翻出来的脸会是空白的，而涂过颜色的一张脸却不见了!   

这个即将被发现的第一个变脸折纸结构共有三张脸。斯通想了一夜，第二天(通过纯粹的思考)证实了自己的想法，那就是能用一个更为复杂的六边形模型折叠出六张脸，而不仅仅是三张脸。

这时候，斯通发现这个结构很有意思，就把他的纸模型展示给研究生院的同学看。很快，“变脸折纸”在午餐和晚餐的桌子上大量出现。成立了“变脸折纸委员会”来进一步研究变脸折纸的秘密，成员除斯通外，还有数学专业研究生塔克曼(Bryat Tuckerman)、物理专业研究生范曼(Richard P. Feynman)和青年数学讲师图基(John W. Tukey)。

【图1  三面变脸六边形折纸的制作方法是，裁出一个纸条，使它上面能标记出10 个等边三角形(A)。沿虚线ab往后折叠，并翻过来(B)。再沿虚线cd往后折叠，并把倒数第二个三角形放在第一个三角形上方(C)。最后一个三角形向后折叠，粘贴在第一个三角形的背面(D)。整个形状就可以折曲变化，知图3上图所示。你不需要进行裁剪。用稍硬点的至少一英寸半宽的纸张折叠效果会较好。】

这些模型被命名为“变脸六边形折纸”，六边形指的是它们的形状，变脸折纸指的是它们的功能。斯通的第一个模型是个三面变脸六边形折纸，即能看到三张不同的脸。他的第二个精巧结构是个六面变脸六边形折纸，即能看到六张不同的脸。

制作六面变脸六边形折纸，可以从一个能分成19个等边三角形的纸条开始(最好是加法机上用的那种纸带子，见图2)。如图2(A)所示，对纸条一面上的三角形用1,2,3标号，让第19个三角形空着，再对纸条反面的三角形用4,5,6标号。现在折叠纸条，让反面的相同数字面贴面，4贴4，5贴5，6贴6，以此类推。折叠出的纸条如图2(B)所示，然后沿虚线ab和(图2(c)中)虚线cd往后折叠，就成了一个六边形(图2(D))。最后把那个空白三角形折下去，与纸条背面与之对应的空白三角形粘贴在一起。整个过程用带标号的纸条来做，要比在这里描述起来简单得多。

【图2  六面变脸六边形折纸的制作方法是，裁出一个纸条，使它上面能标记出19个等边三角形(A)。对纸条一面上的三角形标号为1，2，3;对另一面上的三角形标号为4，5，6。也可以使用彩色图案或儿何图形以示区别。照图所 示折叠出该六边形。这个模型可以翻折出六张不同的脸。】   

如果你折叠的方法正确，这个六边形一个可见的脸上的三角形标注的都是1，另一个脸上的三角形标注的都是2。现在你的六面变脸六边形折纸就可以翻折了。把相邻两个三角形捏在一起(见图3)，沿它们之间的线把纸弯曲，朝相反的角推去，展现出来的可能是标注3或5的脸。随意翻折，应该能顺利地翻出其他那些脸来。翻出标注4，5，6的脸要比翻出标注1，2，3的脸稍微难一点。有时候你会发现自己掉进了一个恼人的怪圈，一遍遍翻出的是同样的三张脸。

塔克曼很快发现，最简单的能把任何变脸折纸的所有脸翻出来的方法是，在同一个角上不停地翻折，直到打不开为止，然后在下一个邻近的角上继续翻折。这个过程被称做“塔克曼穿越”，它可以通过12次翻折，把变脸折纸模型的六张脸全翻出来，但1，2，3翻出来的次数是4，5，6的三倍。塔克曼穿越的示意图见图4，箭头表示各张脸被翻出来的顺序。这类示意图可用来解释所有类型的折纸变脸过程。当把模型翻过去时，塔克曼穿越的过程不变，只不过顺序刚好相反。   

【图3  三面变脸六边形折纸是通过把两个三角形捏在一起进行折曲的(上图)。两个相对的三角形的内边可用两只手打开(下图)。如果打不开，那就是相郁一时三角形被连在一起了。如果能打开，就可以翻个里朝外，把原来看不见的一面亮出来。】

通过延长三角形组成的链条，委员会发现可以做出9张、12张、15张甚至更多脸的变脸折纸。塔克曼设法做出了可以变出48张脸的模型!他还发现，用裁剪成锯齿形的纸条(即边不是直的)可以做出四面变脸六边形折纸和五面变脸六边形折纸。六面变脸六边形折纸有三种不同的形式，一种是用直的纸条做成，一种是用六边形的一个链带做成，最后一种是用类似于三叶草叶子形状的纸条做成的。十面变脸六边形折纸有82种不同的变化，都是用奇形怪状的弯曲纸条做成的。变脸折纸可以做成有任意张脸，但是超过10张脸以后，每一种的不同变化数以惊人的速率增长。顺便说一句，所有偶数张脸的变脸折纸都是由带有两个面的纸条做成的，但那些奇数张脸的变脸折纸却只有一个面，就像默比乌斯带。

【图4  六面吏脸六边形折纸的塔克受穿越】

变脸折纸的完整数学理论是由图基和范曼在1940年创立的。该理论说明了设计出任意大小和种类的变脸折纸的准确方法，以及其他一些问题。这个理论从来没有发表，尽管其中一些部分后来被其他数学家重新发现。致力于变脸折纸术的人中包括曾在国家标准局工作的塔克曼的父亲—著名物理学家路易斯·塔克曼(Louis B. Tuckerman)。老塔克曼为这个理论设计出了一个简单而有效的树形图。

珍珠港事件使该委员会的变脸折纸项目停了下来，战事很快让这四位发起人各奔东西。斯通去英国曼彻斯特大学当了数学讲师，现在在纽约的罗彻斯特大学。范曼是加州理工学院的著名理论物理学家。图基在普林斯顿大学当数学教授，因在拓扑学和统计理论领域作出了杰出贡献而蜚声海内外。塔克曼是纽约州约克敦海茨市的IBM研究中心的一位数学家。   

近年来，该委员会希望召集人马写出一两篇论文，对变脸折纸理论作出权威性的阐释。在权威性理论出台之前，我们可以尽量折腾，看我们自己能对该理论作出多少发现。

制图文章可参照果壳网《来，看六边形变脸！》

Via：《科学美国人趣味数学集锦之——悖论、谬误、多联骨牌及其他》 【美】马丁·加德纳  著   封宗信  译
金融工程, 数学算法

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