戴上数学眼镜看雍正王朝：权力的游戏

人类与生俱来的欲望清单里，少不了“权力”这项。拥有权力，就能得到自己想要的任何事物。有些人为了权力甘愿放弃一切，曹丕放弃了兄弟之情，逼曹植七步成诗。留下了“本是同根生，相煎何太急”的千古名言，道尽权力之下，一切都可被牺牲的感叹。曹家兄弟两个人的权力斗争就如此险恶，规模大一点的宫廷戏码，动辄十几位妃子的后宫，或十几位阿哥的争嗣，你来我往、合纵连横，更是精彩万分。从每隔几年雍正就得被请出来一次，就可以看见这种权力斗争的剧情有多么吸引人。坊间还会顺势推出许多《XX王朝教你的八十八件事》、《你没看懂的XX传》，进一步分析剧中人物的言行举止，让我们了解到许多看起来不起眼的动作，其实都牵扯到权力的操作、分配。

这样的分析，请容许数学也参一脚。

巧送寿礼假设今天皇阿玛生日，五位阿哥决定合送一份礼物。要是这五位阿哥出的黄金都相同，每个人拥有一样的决定权，唯有超过3人赞成，才能拍板定案要送啥。

但要是出资不同，每位阿哥说话的份量就不一样了。

其中，四爷数学特别好，他想买一本流传在夷洲的超有趣数学科普书，让皇阿玛喜欢上数学，关系可以更拉近一点。真是一位聪明的阿哥，应该要让他继承太子的。

据说数学好是四爷脱颖而出的一大优势。图片为影视剧照。

因为这本书很稀有，又真的非常有趣，一时洛阳纸贵，定价高达100两黄金，四爷为了达成目的，决定多出一些钱。他巧妙地跟大家说：

“我们凑个100两黄金，我多出一点无所谓，36两。其他剩下来的余额，各位兄弟就平摊吧。”

于是出资结果为 (36两，16两，16两，16两，16两)。

这步棋下的非常高明，完美有效地利用了金钱换取权力。再解释清楚一点，在四爷出资36两的情况下，他只需要拉拢任意一位盟友，就拥有了36+16=52的过半票数，可以买任何想要的东西。但要是四爷稍微小气点，数学差一点，只肯出到32两黄金，在出资情形(32两,17两,17两,17两,17两)时，四爷想买数学书还得寻求至少2位阿哥的同意(四爷加任何1人也只有49票)，得超过3人才能够通过表决，跟每人出20两时的状况相同。也就是说，四爷多出的12两都拿去打水瓢了，一点意义也没有。要是其他三位阿哥决定拿这笔钱去买一个马桶盖，他也只能摸摸鼻子答应。

权力的关键不仅在于谁出多少，更重要的是，谁能影响过半。

权力指数比起拥有的票数多寡，有一种更精准的量化方式表示每位投票人的实质权力，称之为“Shapley–Shubik 权力指数”：针对赞成与反对的投票，越容易左右结果的人，Shapley–Shubik 权力指数越高。

举例来说，有四位投票者A、B、C、D分别握有2票、5票、3票、3票。总票数为13票，7票过半。如果今天A先投下赞成票，当B投下赞成票时票数会过半，B就是所谓的“权力者”，只要权力者赞成，就能决定结果，喊水会结冻，就算C跟D要反对也来不及。

在此我们不考虑C跟D会霸占主席台的状况，尽管这在台湾的宫廷戏码中很常见。

另一种状况，A先投赞成票，接着C投赞成票，但依然不过半，所以没人会在意C，但下一位投票者一出场氛围就不同了，因为只要他赞成，就过半，这人才是权力者。

权力者不只由投票顺序决定，和每个人手中握有的票数也有关。

权力指数的计算方式是，考虑所有依序投票的排列结果，好比有三位投票者A、B、C，即会有六种不同的顺序，ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。再统计这么多投票顺序之中，每位投票者成为“权力者”的次数，除以总数，即是每个人的权力指数。

权力指数的应用计算（32两，17两，17两，17两,17两）跟（20两，20两，20两，20两，20两）这两种状况的权力指数，结果都是(20%,20%,20%,20%,20%)，如同前面的讨论，虽然四爷多出钱，但要决定一样礼物时，还是得获得3人以上的支持，5个人的权力指数一模一样，并没有因为一个人多出钱而权力倾斜。

但在（36两，16两，16两，16两，16两）时，我们列几种顺序：

36→16→16→16→16

16→36→16→16→16

16→16→36→16→16

16→16→16→36→16

16→16→16→16→36

5种顺序面有3种顺序，出36两黄金的四爷都是权力者，因此他的权力高达3/5=60%。其余4人平分剩下的40%，权力指数成了(60%,10%,10%,10%,10%)。四爷拥有过半的绝对权力，想送哪一本数学科普书都没问题。实际上的状况也是如此，四爷只要找到一个人支持他就好，但如果其他人要反对他，一定得四位结盟才行。

如何掌握实权透过权利指数，我们会发现不少“看起来的权力”与“实际上的权力”相差许多的状况。例如，要是五位阿哥的出钱比例是（35两，28两，22两，14两，1两)，出14两黄金的人，刚好就是十四爷。但十四爷发现，自己明明出得也不算太少，想发表意见时，大家却只会耸耸肩敷衍他，没人认真听，就连出最多跟他最好的四爷也不大理睬他。

“十四弟，你根本没办法影响决定啊，看看，这时候咱们的权力指数是(37%,28%,28%,3%,3%)，你跟那穷到只攒得出1两黄金的十九弟一样没用啊。”

十四爷忿忿不平，偏偏他阮囊羞涩无法加码。好在他平常常跟四爷一起混，数学也不差。他掐指一算后，立刻怂恿出四爷再多出1两，让第三名的阿哥少出1两。

仅仅是1元的调整，调整后的权力指数顿时变成(45%,20%,20%,12%,3%)。四爷权力一口气上升8%，四爷很满意。但最大的受益者其实是十四爷，权力指数从3%暴增到12%！

这背后的原因是，原本出最多钱的四爷得靠拉拢第二名、第三名才能过半，拉拢第四名的十四爷根本没意义。但只要四爷一加码，就算拉拢十四爷也能过半了。

让自己变得被需要，不一定得提升自己的能力，也可以反过来，降低自己被需要的门坎。

也因此，权力游戏中总是出现“联合次要敌人，打击主要敌人”的场景。

《戴上数学眼镜看雍正王朝》，我们明天见。明天权力斗争的机率是70%，出门请记得携带计算器。
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