和声的数学基础
自小浸泡在和声的世界里，十余年的耳濡目染培养了对这种并行流淌的声音曲线的钟情。无论教堂里的弥撒圣咏，还是非洲部落儿童粗粝纯真的歌声，亦或阿卡贝拉（注：Accapella，人声无伴奏合唱）的俏皮幽默，和声的魅力无处不在。
在讲述和谐之音的来龙去脉前，先要认识一个概念：陪音（UpperPartials）。虽然对于文艺复兴时期的音乐家来说，将声音分解为可研究的细小类别还并不是件容易的事情，但今天我们已经可以仅用一台笔记本电脑，就找到声音之中的细微成分。单独的音调可以“基音”，可以用一条正弦曲线代表。每个基音之上，都有比它频率成倍增长的陪音。例如，钢琴上标准C的频率为261赫兹，我们就当它数倍的522赫兹，783赫兹都为C的“陪音”。
不过，陪音的作用远非几个倍数那么简单——事实上，我们无法想象没有陪音的音乐世界如何幻化出多变的旋律和合音。首先，陪音是我们可区分的不同音色的来源：标准C在钢琴和萨克斯风上演奏的感觉截然两样，正是由于陪音在基音之上的数量和强度不同所致。其次，在不同倍数的陪音间，音调高低并非成倍增长，而是以对数（log）形式增长。例如，标准C的陪音不是高几个八度的C，而成了键盘上的C’, G’, C’’和E’’。而当两个音进入我们的耳朵后，不仅黑白键上的基音响起，他们各自的陪音（都遵循着频率对数增长的规律）也一股脑进入了大脑。于是貌似简单的两个音响，其实已经成为一盘声音频率的大杂烩。
到底怎样的一盘大杂烩才能满足我们耳朵的需求呢？
从心理物理学早期奠基人赫尔曼·赫尔姆霍兹（HermannHelmhtz）开始，就有无数的研究者通过“以身试音”，给不同间隔的两个音同时出现时的“不和谐”的程度打分。结果似乎当两个音间隔1、2、6、11个音时，会给人有不和谐之感。
1965年，心理学家瑞那·普兰普（Reinier Plomp）和威廉·李维特（Willem Levelt）建立了“和谐曲线”的理论模型。在他们的模型中，间隔1-2的两个音最不和谐，然后不和谐感逐渐下降。但当他们把陪音也加入模型后，就和赫尔姆霍兹早期得到的曲线类似了：当两个音相差3，4，5，7，9，12个半音时，便形成了更“舒服”的搭配。这一结果和人类文化上大多数的音乐都十分吻合：人们更多采用“和谐”的搭配来谱曲写调，而尽量避免那些不和谐的配对出现。
对于合唱，亦或吉他曲、钢琴曲、交响乐等音乐形式，更常见的是三个或更多个音形成的“和弦（Chord，三个音称为triad）”。而西方音乐对待三音和弦，进行了大调和小调的区分，并且依据它们来书写下不同风格的旋律与和声效果。这样复杂的组合经过音乐家的妙手，形成了无数的经典乐章。直到今天，现代流行音乐依旧沿袭着这些固定的和弦模式。甚至在很多摇滚乐与现代音乐中，音乐家故意采用不和谐的和弦形成的诡异而古灵精怪的音乐。
如果我们沿袭两个音的“和谐图”，把他们加到三个音的关系上（包含三对两音组合），就会得到一幅三音和弦的“和谐”图。在这里，我们把中间音调和上下两个音调间的距离作为考察的变量。但如果对照西方音乐乐理手册上固定的大小调和弦时，我们会发现这个“和谐图”似乎并不完美。心理学家大卫·塔姆珀力（David Temperley）和克拉克·斯楚尔（Klaus Scherer）认为，人们对于大小调和弦的认识可能受到了日常经验的影响。由于其他的音调组合不常出现，所以我们就倾向于认为他们都是“不和谐”的，即便从道理来说他们并没有错误。
在音乐旋律中还有一个和和谐有关的问题：有候我们会感觉到一个和弦组合听起来并不“完满”，充满了“紧张感（intension）”。心理学家莱奥纳多·梅耶（Leonard Meyer）在《音乐的情绪和意义》（Emotion and Meaning in Music）一书中认为，当和弦上下两个距离相等时，由于听者很难辨明和弦的空间位置，因此容易造成和弦的“紧张”。和“和谐图”类似，我们也可以得到一个加入陪音因素之后的“紧张图”。在这张图中，标准的6个大小调和弦依旧处于蓝色的紧张“安全区”。
好了，现在我们已经知道了“不和谐”和“紧张”分别在不同三音和弦上是如何分布的。把他们两个结合起来，就得到了“不稳定（Instability）图”——理论上我们何时感知到美妙和谐的音响，何时这种组合对我们来说并非悦耳动听。这便是日本关西大学心理学家诺曼.库克（Norman D. Cook）和田中（Takefumi Hayashi）提出了的声学方法解释音律“和谐”的途径。在他们的理论中，只有两个音时，双音共振形成的和谐最重要；当三音和弦出现时，音调间的相对位置就更加重要了。
近来，随着神经科学技术的进步，人们得以进一步探讨音乐进入大脑后发生的事情。尝试将和谐和大脑神经元的活动联系起来。哈佛医学院音乐与大脑科学研究所的神经学家马克·特瑞莫（Mark Jude Tramo）就和他的同事记录了100个猫的听觉神经元细胞对大调、小调和不和谐和弦的反应。通过统计这些神经发放之间的时间，可以得到一张不同时间间隔（ISI）的频率表。
有趣的是，神经元在听到“和谐”和弦时的频率表明显规律些，并且成倍长度ISI出现的频率类似。而“不和谐”音产生的ISI频率就显得杂乱无章。这说明，听觉细胞对于和谐音律的反应，也倾向于产生有规律的共振——这或许是“和谐”带给我们无限美妙体验的第一步。
至于为什么我们会产生不同和声组合的不同感受，关西大学的两位研究者认为，声音的和谐规律是生物在长期进化过程中逐渐获得的。在动物世界里，下降的语调常预示着威望、攻击和支配的性情。而上挑的语调则代表顺从，软弱与屈服。通过手势和肢体动作，这些音调的组合形式又被加强了象征的意义，并得以在世代间传递。
人类社会也有类似的场景，上扬的语调表示礼貌和顺从，下降的声音则预示着命令、要求与威严。而上升和下降似乎正对应着紧张（上下距离一样大）的和弦发通过上升和下降的变化形成的大调和小调调式。这或许揭示了，为什么大调和小调具有普适的情绪意义，在跨文化和种族的音乐中都带给人们相似的情感体验。再一起来听这一首阿卡贝拉的《Hotel California》。想想看我们能感受这美妙的和声，原来也是大自然赐予我们的天赋，与长期人类社会生活演化的结果——是不是很奇妙呢？
Via：科学松鼠会
金融工程, 数学算法
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