六种波动率估计方法

对于单资产或资产组合波动率进行测度,这对于金融机构来说非常重要。本章首先从波动率的定义出发,随后介绍单资产波动率(风险)度量和资产组合波动率(风险)度量,并从理论角度解释特征风险和系统化风险以及如何把风险分散化及其原理。在基础上,解释如何从期权价格中求取波动率或以历史数据来估计波动率,并介绍了隐含波动率估计法(impliedvolatility method)、指数加权移动平均(exponentially weighted moving average,EWMA)、自回归条件异方差(auto-regressiveconditional heteroscedasticity, ARCH)以及广义自回归异方差(generalizedauto-regressive conditional heteroscedasticity, GARCH)等著名方法。

以上这些方法的一个显著的特点就是波动率不为常数,在某些时间段内波动率变化可能很小,而在其他时间内变化可能很大,这些方法试图跟踪波动率随时间的变化。

波动率

某个变量的波动率定义为这一变量在单位时间内连续复利收益率的标准差。当波动率用于期权定价时,时间单位通常为一年,因此波动率就是一年的连续复利收益率的标准差;但当波动率被用于风险控制时,时间单位通常为一天,此时的波动率对应于每天的连续复利收益率的标准差。

一、隐含波动率

由于其他变量的值在市场上都观察得到,因此实务界就将期权价格代入 Black-Scholes 期权定价公式(Blackand Scholes, 1973),反求出波动率。这样求出来的波动率被称为隐含波动率。

不幸的是我们不能够通过对上式反推得出波动率对期权价格的函数关系。但是,可采用牛顿迭代法,求出趋于收敛时的波动率数值。

案例:隐含波动率

期权公式中唯一不能直接观察到的一个参数就是股票价格的波动率,隐含波动率是交易员从期权价格隐含反推计算出的波动率。

为了理解隐含波动率,假定:

· 股票当前市价为 21 美元

· 期权行使价格为 20 美元

· 无风险利率为 10%

· 期权期限为 3 个月

· 市场价值为 1.875 美元

先假定波动率为 20%,则对应的期权价格为 1.76,小于 1.875;由于期权价格波动率的递增函数,令波动率为 30%,则可求出对应的期权价格为 2.1 美元,此致高于市价,由此可见,波动率 [20%,30%]。接下来,零波动率为 25%,此致仍高于市价,这意味着波动率一定介于 [20%,25%]。这样继续下去,每次迭代可以使得波动率所在的区间减半,并最终计算出满足任意精度的波动率的近似值。最后可得出波动率为 23.5%。

隐含波动率被广泛应用于交易之中,但是在风险管理领域,基于历史数据的波动率更为流行。

二、标准差度量法

(一)单资产风险的度量

假设某种金融资产收益率 _r_ 为随机变量,该资产的风险可用收益率标准差 _σ_ 即波动系数来度量。_σ_ 越大说明该资产面临的市场风险越大,反之则反是。

当无法准确知道资产收益率的概率分布时,可利用随机变量 _r_ 的若干个历史样本观测值来估计 _r_ 的数学期望和标准差:

(二)资产组合风险的度量

(三)特征风险、系统性风险与风险分散化

通常情况下,组合内各资产之间的相关性是由各资产都与一些共同的风险因子相关联而导致的。以股票为例,如果某个行业的发展不景气,市场需求不足,则行业内每个公司的业绩都会因此而出现下滑,从而每个公式的股票收益率都会受到影响,甚至整个行业板块都可能处于低迷的状态,此时若仅在行业内分散化投资,则难以避免资产组合收益率下滑甚至亏损的风险。但是,如果在行业外更大的范围内进行分散化投资,则结果有可能得到改善。

第三,波动性方法的优缺点评述

  1. 优点:含义清楚,应用也比较简单。

  2. 缺点:对资产组合未来收益概率分布的准确估计比较困难;仅描述资产组合未来收益的波动程度,并不能说明资产组合价值变化的方向;无法给出资产组合价值变化的具体数值。

三、历史波动率估计法

根据历史数据估算变量的波动率时,观察时间的间隔通常为某一固定时间区间(如一天、一周或 1 个月)。定义:

四、ARCH(m)模型


五、指数加权移动平均模型

EWMA 优点:第一,需要相对较少的数据;第二,对波动率进行跟踪监测,摩根最先引入,并设定λ=0.94 发现对应的方差预测与实际方差非常接近。

六、ARCH(1,1)模型