四种期权定价方法

在世界大多数证券市场上,有一种期权 (option) 的交易。例如,某种股票的现价为 S=42 美元,该股票的年波动率 s=20%,市场的无风险年利率 r=10%;若客户希望拥有在六个月即 0.5 年后以约定价格 X=40(美元)购进这种股票的权利,而且届时他也可以放弃这种权利。

试问:为拥有这种购买的选择权,客户该付多少钱? 换言之,这种期权的价格为多少?

简单分析:股票的现价为 S(42 美元),由于股票价格的波动率,到期时价格可能上扬为 _Su_,也可能下跌为 _Sd_. 为简单计,暂且假定涨跌幅均为 10%,则有 _u_=1+10%=1.1,_d _=1-10%=0.9。

显然前一情况客户会执行期权,后一情况会放弃期权期权价格在期满 _T_ 时,期权价格为:

_VT _= max (ST- X ,0)

在股票价格为 $46.2 时,客户必定以敲定价格 $40 购进股票。这时期权的价格应为:

Vu = Su - X = 46.2-40 = 6.2(美元)

在股票价格为 $37.8 时,客户必定放弃这约定的股票购买权,这时期权的价格应为

Vd = 0(美元)


一、无套利定价模型

基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而采取的投资组合 (portfolio) 的策略。假定现在套利者卖出一份股票期权,价格为 _V_,再以价格 _S_ 买进份这种股票,那么该组合的价格为:

Π_=α_S-V

组合的目的是使之不具有风险,从而可获得无风险利率,那么在期权期满日,组合增值后的价值为:

其中 r 为无风险利率。

另一方面,如前面分析,这组合的在期权满日价格

二、风险中性定价法

在风险中性世界里:

(1)所有可交易证券的期望收益都是无风险利率;

(2)未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。

股票价格的期望值:

假如投资者对有无风险无差异

Eg. 示例股票现价为 42 美元,下一期(6 个月后)价格可能是 46.2 美元或者 37.8 美元,无风险利率为 10%。假设投资者都是风险中性,问一份施权价为 40 美元的股票期权现在价值多少?

答案:投资者是风险中性意味着:

       46.2 _p_+ 37.8(1-_p_)= 42 _e_0.1×0.5

      _ p_=0.7564

从而期权的即期价格为:

      _V__=E(VT)×e-rT_

      _V_=(0.7564 ×6.2+0.2436×0)×_e_-0.1×0.5

=4.46

三、多期二叉树模型

在简单分析中。有一个显然的问题,例子中到期满日股价只有两种可能以及涨跌幅 10%的假定都是很粗略的

事实上股票时刻都有可能涨跌,因此我们将 _T_ 分为很多小的时间间隔△_t_,而在每一个△_t_,股票价格变化由 _S_ 到 _Su_ 或 _Sd_。若价格上扬的概率为 _p_,那么下跌的概率为 1_-p。_

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四、Black-Scholes 定价模型

1973 年,美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes 提出了著名的 B-S 定价模型,用于确定欧式股票期权价格,在学术界和实务界引起了强烈反响;同年,RobertC. Merton 独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了 1997 年的诺贝尔经济学奖。在本章中,我们将循序渐进,尽量深入浅出地介绍布莱克 - 舒尔斯 - 默顿期权定价模型(下文简称 B-S-M 模型),并由此导出衍生证券定价的一般方法。

1. 股票价格的对数服从普通布朗运动,股票价格和连续复利收益率服从对数正态分布。