期权市场风险对冲原理证明

一、期权希腊字母风险对冲的含义

风险对冲的基本思想可以通过基于 Taylor 展示式的资产组合价值随市场因子变化的二阶形式来表现:

金融衍生品的价格 _F_ 可以表示成形式:F = FS, t,_r,_σ

其中:_S_ 表示标的物资产的当前价格,_t_ 表示当前时间,_r_ 表示无风险利率,σ表示标的物资产价格的波动率。

金融衍生品定价公式的泰勒展开式:

期权的风险指标通常用希腊字母来表示,包括:delta 值、gamma 值、theta 值、vega 值、rho 值等。

二、欧式看涨期权希腊字母风险对冲及证明

以欧式看涨期权为例,证明希腊字母风险对冲原理。其中,基于 Black-Scholes 公式,不付红利的欧式看涨期权为:

期权合约的 Delta

对于股股息股票期权的 Delta,我们可以证明

欧式看涨期权长头寸的 Delta 为:_(看涨期权)=N(d1)_

欧式看涨期权短头寸的 Delta 为 _-N(d1)_

其中,_d1_ 由 B-S 公式中定义,N(x) 是标准正态分布的累积分布函数

对于一个期权长头寸做对冲时,需要持有 _N(d1)_ 股股票的短头寸。

对于一个期权短头寸做对冲时,需要持有 _N(d1)_ 股股票的长头寸。

期权合约的 Gamma

对于一个无股息看涨及看跌期权,Gamma 关系为:

看涨期权长头寸 Gamma 为正。

期权合约的 Theta

由 BS 公式计算得出:

其中,标准正态分布的密度函数

对于一个股票欧式看跌期权,计算 Theta 的公式为:

因为 _N(-d2)=1-N(-d2)_,所以看跌期权的 Theta 比看涨期权的 Theta 大

期权合约的 Vega

对于一个无股息看涨期权,Vega 公式为:

欧式及美式期权的 Vega 总为正。

期权合约的 Rho

对于一个无股息股票欧式看涨期权和看跌期权,其 Rho 分别为: