五种期权期货风险对冲方法

理论基础

金融机构的交易平台被称为前台“front office”;管理银行所面临的整体风险、资本充足率以及监管法规的部门被称为中台;管理银行账目的部门被成为后台“backoffice”。

交易平台的风险在两个层次被得以管理:

(1)前台交易人员通过对冲手段来控制单一风险额度以达到风险管理目的。

(2)中台管理人员将所有交易员的单一风险暴露进行汇总来测算银行面临的整体风险,并检验整体风险是否可以被接收。

(一)含义

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灵敏度方法 (Sensitivity Measures) 的基本思想可以通过基于 Taylor 展示式的资产组合价值随市场因子变化的二阶形式来展现:

金融衍生品的价格 _F_ 可以表示成下面的形式

_ F=F(S, t, r, σ)_

其中:_S_ 表示标的物资产的当前价格,_t_ 表示当前时间,_r_ 表示无风险利率,σ表示标的物资产价格的波动率。

根据多元函数的泰勒展开式,期权价格变化可以近似表示为:

金融衍生产品灵敏度指标的含义解析:

(二)远期 / 期货 / 期权风险对冲介绍


灵敏度方法的优劣势:

主要特点: (1)简明直观; (2)应用方便;(3)最适合于由单个市场风险因子驱动的金融工具且市场因子变化很小的情形。

不足:(1)可靠性难以保证; (2)难以定义受多个市场风险因子影响的资产组合的灵敏度指标;(3)无法对不同市场因子驱动的风险大小进行横向比较;(4)不能给出资产组合价值损失的具体数值;(5)一阶灵敏度方法一般不考虑风险因子之间的相关性。

一、Delta 风险对冲

定义:Delta 表示衍生产品价格变动与现货市场价格变动之比率。

(一)远期合约的 Delta

1. 考虑一个无股息股票的远期合约

由远期合约的价值为 _f=S0-Kexp(-rT)_,其中,K 表示支付价格,T 为远期的期限。在其他变量不变的情况下,当股票价格变化为ΔS 时,股票远期合约的价格变化也为ΔS,因此远期合约的长头寸的 Delta 永远为 1。这意味着一个股票远期合约的长头寸可以用一个股票的短头寸进行对冲,同理,一个股票远期合约的短头寸可以用一个股票的长头寸进行对冲。

2. 考虑连续股息收益率为 q 的资产

由远期合约的价值为 _f=S0_exp(-qT)-Kexp(-rT),在其他变量不变的情况下,当股票价格变化为时,股票远期合约的价格变化也为Δ_S0_exp(-qT),因此远期合约的长头寸的 Delta 永远为 __exp(-qT)。这意味着一个股票远期合约的长头寸可以用 __exp(-qT)__ 个股票的短头寸进行对冲,同理,一个股票远期合约的短头寸可以用 __exp(-qT)__ 个股票的长头寸进行对冲。

Eg. 对于股指期货远期,q 等于股息收益率;对于汇率远期,q 等于外币无风险利率 rf。

(二)期货合约的 Delta

1. 考虑一个无股息股票的期货合约

由期货合约的价值为 _f=S0_exp(rT),其中,T 为期货的期限。在其他变量不变的情况下,当股票价格变化为ΔS 时,股票期货合约的价格变化也为ΔS_0_exp(rT)。因为期货价格每天按市场定价,期权合约长头寸的持有者在股票价格变化为ΔS 后,几乎马上回到得到ΔS__exp(rT)数量的收益,因此期货合约的 Delta 为 __exp(rT)

2. 考虑股息收益率为 q 的股票

由远期合约的价值为 _f=S0_exp[(r-q)__T],在其他变量不变的情况下,当股票价格变化为ΔS 时,股票远期合约的价格变化也为Δ_S0_exp[(r-q)__T],因此远期合约的长头寸的 Delta 永远为 __exp[(r-q)__T]____。

注:由于每日结算会造成期货 Delta 与远期 Delta 有微小的差别。

Eg. 利用期货来对冲外汇交易组合的风险

假定一家美国银行持有一外汇期货交易组合,该银行可通过卖出 458 000 英镑来达到 Delta 中性。

假定美国无风险利率为 4%,英国无风险利率为 7%。由此可知,采用 9 个月期的货币期货来对冲所需要的短头寸数量为 458 000*exp[-(0.04-0.07)*9/12]=468 442 英镑

因为每一个期货合约是关于卖入或买出 62 500 英镑,可见银行需要买进 7(468 442/62500)个合约的短头寸,可达到对冲风险的目的。

(三)期权合约的 Delta

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1. 分析的逻辑

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如上图所示,股票价格为 100 美元,期权价格为 10 美元。某金融机构的交易员卖出了 20 份该股票的看涨期权(期权持有者有权购买 2000 股股票)。交易员的头寸可以通过购买 0.6*2000=1200 股股票来对冲。

期权头寸所对应的盈利(亏损)会被股票头寸上的亏损(盈利)来抵消。例如:如果股票价格上涨 1 美元(买入的股票会升值 1200 美元),期权价格将上涨 0.6*1=0.6 美元(卖出期权头寸会带来损失 1200 美元);如果股票价格下跌 1 美元(买入股票会损失 1200 美元),期权价格下跌 0.6 美元(卖出期权会带来 1200 美元收益)。

交易期权头寸的 Delta 为 0.6*(-2000)=-1200

股票本身的 Delta 为 1,则持有 1200 分股票的 Delta 值为 1200

所以,投资者整体的 Delta 为 0,被称为 Delta 中性(DeltaNeutral),这些静态对冲也被称为对冲即遗忘策略。

但是,必须指出的是 Delta 会变动,因此投资者的 Delta 对冲状态只能维持在一段短暂的时间内,对冲策略需要不断调整,这种调整过程被称为再均衡(rebalancing)。

Eg. 采用 Delta 对冲

以上面为例:

第一次对冲

交易员买入 1200 股票来生成 Delta 中心头寸

价格变动

在下一个交易日,股票价格上涨到 110 美元,Delta 变为 0.65,期权头寸的 Delta 变为 0.65*2000=1300。

对冲再均衡

交易员买入 100 股股票来保证 0.6*2000=1200 中性头寸。

2. 欧式期权的 Delta

对于股股息股票期权的 Delta,我们可以证明:

欧式看涨期权长头寸的 Delta 为:△(看涨期权)=N(d1)

欧式看涨期权短头寸的 Delta 为:-N(d1)

其中,d1 由 B-S 公式中定义,N(x) 是标准正态分布的累积分布函数。

对于一个期权长头寸做对冲时,需要持有 N(d1) 股股票的短头寸。

对于一个期权短头寸做对冲时,需要持有 N(d1) 股股票的长头寸。

2. 期权的 Delta 动态对冲

以例子说明动态对冲过程:

· 股票当前市价为 49 美元

· 期权行使价格为 50 美元

· 无风险利率为 5%

· 股票波动率为 20%

· 期权期限为 20 周

实值期权:

看涨期权:行使价格大于当时现货价格

看跌期权:行使价格小于当时现货价格

虚值期权:

看涨期权:行使价格大于当时现货价格

看跌期权:行使价格大于当时现货价格

Eg. 采用股票期货的 Delta 对冲的动态特征

(有权购买 100 000 股股票)

二、Theta 风险对冲


注:Theta 通常以天结算,为计算公历日的 Theta,天数为 365;为计算交易日的 Theta,天数为 252。

期权长头方的 Theta 通常为负,因为在其他条件不变的情况下,随着期限的减少,期权价值会有所降低。下图给出了一个看涨期权的 Theta 与标的资产关系的曲线。

Theta for Call Option: _S_0=K=50, s = 25%, r = 5% T = 1

**** 注:Theta 与 Delta 等希腊字母值有所不同,因为未来股票的价格有很大的不定性,但事件走向却没有不定性。通过对冲消除交易组合关于标的资产的风险十分有意义,但通过对冲来消除交易组合对时间的不定性就毫无意义。

三、Gamma 风险对冲

Gamma 度量了金融衍生产品价格变化对标的资产价格变化的非线性灵敏感。

当 Gamma 绝对值很小时,Delta 变化缓慢,这时为保证 Delta 中性所做的交易调整并不需要太频繁。但是,当 Gamma 绝对值很大时,交易组合的 Delta 对标的资产价格变动就变得很敏感,此时在任何一段时间内不对一个 Delta 中性的交易组合做调整都将会非常危险。


图:非线性所引入的对冲误差

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Eg. 将交易组合变为 Delta 中性及 Gamma 中性

某交易员的交易组合为 Delta 中性,其 Gamma 为 -3000。某交易所交易期权的 Delta 与 Gamma 分别为 0.62 及 1.5,该交易员为了使得交易组合的 Delta 与 Gamma 均为中性,他可以进行以下交易:

· 买入 2000 股期权(20 个期权合约)保证 Gamma 中性

· 卖入 1240 份标的资产以保证 Delta 中性。

对于一个 Delta 中性的交易组合进行 Gamma 中性可以看作是对 Delta 中性交易中无法连续改变标的资产数来那个这一却缺陷的校正。

Delta 中性保证了在对冲再均衡之间交易组合价值不受股票价格微小变化的影响;而 Gamma 中性则保证了对冲再均衡之间,交易组合价值不受股票价格较大变化的影响。

假定一交易组合为 Delta 中性,其 Gamma 量为 -3000,而对应于交易所交易期权的 Delta 及 Gamma 分别为 0.62 及 1.50。在交易组合中加入 3000/1.5=2000 份期权会使得此交易组合变成 Gamma 中性。但是因此交易组合的 Delta 也会从 0 变为 2000*0.62=1240,也保证新的交易组合 Delta 中性我们必须卖出 1240 股标的股票。上例给出了此交易策略的总结。

Gamma 计算


对于一个无股息看涨及看跌期权,Gamma 关系为:

看涨期权长头寸 Gamma 为正,并且与的变化如下图所示。

Gamma for Call or Put Option: _S_0=K=50,s = 25%, r = 5% T = 1

看涨期权的 Gamma 与标的资产价格的关系

Eg.Gamma 对一个 Delta 中性证券组合价值的影响

采用上面的例子。

· 股票当前市价为 49 美元

· 期权行使价格为 50 美元

· 无风险利率为 5%

· 股票波动率为 20%

· 期权期限为 20 周

四、Vega 风险对冲

Vega 测量衍生产品价格对其标的资产价格波动率从的线性或一阶敏感性。

上面的分析假定的前提是标的资产波动率为常数,但实践中,波动率随时间会有所变化,这意味着衍生证券价格会随着标的资产价格与期限的变化而变化,同时也会随波动率的变化而变化。


但不幸的是,一个 Gamma 中性的交易组合一般不会是 Vega 中性,一个投资者要想使得一个交易组合同时达到 Gamma 和 Vega 中性,就必须引入与标的产品有关的两种不同衍生产品才能达到目的。

以一个例子来说明:

Eg. 如何使交易组合的 Delta、Gamma、Vega 均为中性

假定某一交易组合为 Delta 中性,Gamma 为 -5 000,Vega 为 -8000。假定某个交易所交易期权的 Gamma 为 0.5,Vega 为 2.0,Delta 为 0.6. 购买 4000 个交易所交易期权会使得交易组合成为 Vega 中性,这样做同时会使得 Delta 增至 2400,因此为了保证 Delta 中性必须卖出 2400 个单位的标的资产,交易组合的 Gamma 也会从 -5000 变成 -3000.

为了保证组合 Gamma 及 Vega 呈中性,我们必须引入第二个交易所交易期权。此期权的 Gamma 为 0.8,Vega 为 1.2,Delta 为 0.5. 用来表示和两个可交易期权的头寸,则有:

-5000+0.5W1+0.8W2=0

-8000+0.2W1+1.2W2=0

以上两式的解为 W1=400 和 W2=6000。因此分别加入 400 个第一个交易所交易期权及 6000 个第二个交易所交易期权会使得交易组合 Gamma 及 Vega 都呈中性。加入这两种期权后,交易组合的 Delta 变为 4000.6+60000.5=3240,因此必须卖出 3240 份标的资产才能保持组合为 Delta 中性。

Vega 计算


对于一个无股息看涨期权,Vega 公式为:

欧式及美式期权的 Vega 总为正,并且与 S0 的变化如下图所示。

Vega for Call or Put Option: _S_0=K=50,s = 25%, r = 5% T = 1

期权的 Vega 与标的资产价格的关系

Eg. 股票期权的 Vega

采用上面的例子。

· 股票当前市价为 49 美元

· 期权行使价格为 50 美元

· 无风险利率为 5%

· 股票波动率为 20%

· 期权期限为 20 周


注:BS 公式假定波动率为常数。理论上,有一个及爱的那个 Vega 为随机变量的模型来计算 Vega 更为合理。但结果表明,由随机波动模型得到的 Vega 与 BS 模型的 Vega 很接近,因此,假定波动率为常数而得出的 Vega 用起来很好。

五、Rho 风险对冲

一个期货组合的 Rho 为交易组合价值变化与利率变化的比率,测量的是交易组合对利率变化的敏感性。

对于一个无股息股票欧式看涨期权和看跌期权,其 Rho 为

总结:Delta, Theta 和 Gamma 关系

BS 分析表明,对于一个无股息资产上由看涨、看跌期权以及其他金融衍生产品所组成的交易组合一定满足:

该式说明当θ很大并且为正时,交易组合的 Gamma 虽然也很大,但为负,反之亦然。上式同时解释了为什么对于 Delta 中性的交易组合,我们可以将 Theta 作为 Gamma 的近似。

1. 附录:相关的数学证明。(不付红利的欧式看涨期权希腊字母证明)

2. 六种波动率估计方法

3. 四种期权定价方法